การแก้สมการกำลังสอง
สมการกำลังสอง หมายถึง สมการที่เขียนในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0
บทนิยามของสมการกำลังสอง
สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ทำได้โดยอาศัยการแยกตัวประกอบ หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b
ตัวอย่าง จงหาคำตอบของสมการ x2 – 32x + 31 = 0
x2 – 32x + 31 = 0
( x2– 31 ) ( x – 1 ) = 0
ดังนั้น x – 31 = 0 หรือ x – 1 = 0
x = 31 หรือ x = 1
คำตอบของสมการคือ 31 และ 1
ตัวอย่าง จงหาคำตอบของสมการ x2+ 5x + 6 = 0
x2 + 5x + 6 = 0
( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0
ดังนั้น x + 2 = 0 หรือ x + 3 = 0
x = -2 หรือ x = -3
คำตอบของสมการคือ -2 และ -3
ในการแก้สมการบางครั้ง ถ้านำค่าคงตัวมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการ จะช่วยให้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบของสมการทำได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่าง จงแก้สมการ -6x2 + 12x – 6 = 0
-6x2 + 12x – 6 = 0
นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
x2– 2x + 1 = 0
( x – 1 ) ( x – 1 ) = 0
ดังนั้น x – 1 = 0
x = 0
คำตอบของสมการคือ 1
ตัวอย่าง จงแก้สมการ 1.5x2 = 7.7x - 1
1.5x2 - 7.7x + 1 = 0
นำ 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
15x2 – 77x + 10 = 0
( 15x – 2 ) ( x - 5 ) = 0
ดังนั้น 15x – 2 = 0 หรือ x – 5 = 0
x = เศษ 2 ส่วน 15 หรือ 5
คำตอบของสมการคือ เศษ 2 ส่วน 15 และ 5
การหาคำตอบของสมการกำลังสองในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณี c มีค่าเป็น 0 ใช้สมบัติการแจกแจง
ตัวอย่าง จงแก้สมการ 15x2 – 10x = 0
15x2 – 10x = 0
5x2 ( 3x – 2 ) = 0
ดังนั้น 5x = 0 หรือ 3x – 2 = 0
x = 0 หรือ x = เศษ 2 ส่วน 3
คำตอบของสมการคือ 0 และ เศษ 2 ส่วน 3
การหาคำตอบของสมการกำลังสอง ในรูป ax + bx + c = 0 เมื่อ a , b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณีที่ c มีค่าเป็น 0 การแก้สมการกำลังสองที่ได้รูปทั่วไปเป็น x2 = c เมื่อ c > 0 x2 – c = 0
ตัวอย่าง จงแก้สมการ x2 – 169 = 0
x2 - 132 = 0
( x – 13 ) ( x + 13 ) = 0
ดังนั้น x – 13 = 0 หรือ x + 13 = 0
x = 13 หรือ x = -13
คำตอบของสมการคือ 13 และ -13
ตัวอย่าง จงแก้สมการ 4x2 = 16
4x2 - 16 = 0
( 2x )2 – 42 = 0
( 2x – 4 ) ( 2x + 4 ) = 0
ดังนั้น 2x – 4 = 0 หรือ 2x + 4 = 0
x = เศษ 4 ส่วน 2 หรือ x = - เศษ 4 ส่วน 2
x = 2 หรือ x = -2
คำตอบของสมการคือ 2 และ -2
การแก้สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น x2 = c เมื่อ c > 0
ตัวอย่าง จงแก้สมการ ( 2x – 3 )2 = 16
( 2x - 3 )2 - 16 = 0
( 2x - 3 )2 - 42 = 0
( 2x – 3 – 4 ) ( 2x – 3 + 4 ) = 0
( 2x + 1 ) ( 2x– 7 ) = 0
ดังนั้น 2x + 1 = 0 หรือ 2x – 7 = 0
2x = -1 หรือ 2x = 7
x = - เศษ 1 ส่วน 2 หรือ x = เศษ 7 ส่วน 2
คำตอบของสมการคือ - เศษ 1 ส่วน 2 และ เศษ 7 ส่วน 2
การแก้สมการกำลังสอง
1.โดยวิธีแยกตัวประกอบ
สมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวอย่าง
( x - 3 ) ( x + 4 ) = 0
ดังนั้น x - 3 = 0 หรือ
x = 3 หรือ
x = 3 , -4
ตัวอย่าง
( 2x - 5 ) ( 3x - 6 ) = 0
ดังนั้น 2x - 5 = 0 หรือ 3x - 6 = 0
x = เศษ 5 ส่วน 2 หรือ x = เศษ 6 ส่วน 3
x = 2
x = เศษ 5 ส่วน 2 , 2
2.โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงตัวและ a ไม่เท่ากับ 0 โดยจัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
จากการแก้สมการ เราใช้วิธีทำทางขวามือของสมการให้เท่ากับ 0 และทางซ้ายมือของสมการ เราพยายามทำให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบกำลังหนึ่ง โดยวิธีแยกตัวประกอบ แต่บางครั้งการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือของพหุนาม คำตอบจะอยู่ในรูปที่สลับซับซ้อนมาก จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการหาคำตอบ
ตัวอย่าง
จงแก้สมการ x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 2x + 3 = 0
x2+ 2x + 12 - 12 + 3 = 0
( x + 1 )2 - 1 + 3 = 0
( x + 1 )2 + 2 = 0
เนื่องจาก ( x + 1 )2 > 0 เสมอ ดังนั้น ( x + 1 )2 + 2 > 0 เสมอ
แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้ ( x + 1 )2 + 2 = 0
สรุป ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ
หลักในการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0
2 .กรณีที่ a ไม่เท่ากับ 1 ให้นำ a หารตลอด
3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจาก ข้อ 3 โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ
5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่าของตัวแปร
3.โดยใช้สูตร
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมี 2 คำตอบ
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมีเพียงคำตอบเดียว
- ถ้า b2- 4ac < 0 คำตอบของสมการดังกล่าวจะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น